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乘积法则怎样反向产生分部积分法？

先备知识

第 14.1 单元证明了乘积法则

\[ (uv)'=u'v+uv'. \]

第 18.1 单元说明等导数的函数在一个区间上相差常数。本页只把乘积法则移项并反向读取， 但计算是否变简单取决于拆分选择。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 从乘积法则证明分部积分恒等式；
  2. 根据求导后复杂度是否下降选择 \(u\) 和 \(v'\)；
  3. 处理需要重复使用或形成循环方程的情形；
  4. 识别使问题更复杂的拆分并及时停止；
  5. 通过乘积求导回验最后结果。

牵引问题

\(\int xe^x\,dx\) 不具有第 18.2 单元的明显内外层结构，却让人想到

\[ (xe^x)'=e^x+xe^x. \]

把右侧多出来的 \(e^x\) 移走，就能恢复 \(xe^x\) 的原函数。怎样把这个动作写成一般 方法，并避免“随便拆一次”？

探索与猜想

对 \(xe^x\) 有两种拆法：

  • 让 \(x\) 被求导，复杂度从一次降为常数；
  • 让 \(e^x\) 被求导，复杂度完全不降。

有效拆分的核心不是字母顺序，而是：求导的一侧应当更简单，反向恢复的一侧应当可做。

概念与理论

分部积分恒等式

定理。 设 \(u,v\) 在区间 \(I\) 上可导，则

\[ \int u(x)v'(x)\,dx =u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx. \]

证明。 乘积法则给出

\[ [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). \]

移项：

\[ u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x). \]

右侧的一个原函数为

\[ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx. \]

在同一区间上补上任意常数，得到所述公式。证毕。

常写成

\[ \int u\,dv=uv-\int v\,du. \]

这只是同一恒等式的简写。它不保证右侧的新积分一定更容易；方法是否成功，还取决于 拆分。

路线选择表

结构 常让谁作 \(u\) 原因或风险
多项式 × 指数 多项式 求导后次数下降，指数易恢复
多项式 × 三角 多项式 求导后次数下降，三角易恢复
\(\log x\) \(\log x\)，补乘 \(1\) 对数求导成 \(1/x\)
反三角函数 反三角函数，补乘 \(1\) 导数化为有理式或根式
指数 × 三角 任取一方后可能循环 第二次使用后解线性方程
两边都更复杂 暂停 分部积分不保证改进

经验顺序不能代替检查。每次使用后都要比较新积分与原积分的结构复杂度。

重复、列表与循环

若 \(u\) 是多项式，重复求导最终变为零，可连续使用分部积分。若结构在若干步后返回原 积分，例如 \(e^x\cos x\)，应把原积分视为未知量，建立线性方程。不能把两边的“不定 积分常数”分别搬来搬去；最稳妥的做法是先求一个候选原函数，再统一加 \(C\)。

例题与迁移

例 1：多项式乘指数

求

\[ \int xe^x\,dx. \]

取 \(u=x\)，\(dv=e^x\,dx\)，则 \(du=dx\)，\(v=e^x\)。因此

\[ \int xe^x\,dx =xe^x-\int e^x\,dx =e^x(x-1)+C. \]

回验：

\[ \frac{d}{dx}[e^x(x-1)]=e^x(x-1)+e^x=xe^x. \]
答案

让多项式被求导使次数下降。答案为 \(e^x(x-1)+C\)。

例 2：把 \(1\) 看成另一因子

在 \(x>0\) 上求

\[ \int \log x\,dx. \]

写成 \(\int(\log x)\cdot1\,dx\)。取 \(u=\log x\)，\(dv=dx\)，则 \(du=dx/x\)，\(v=x\)。所以

\[ \int\log x\,dx =x\log x-\int1\,dx =x\log x-x+C. \]
答案

在 \(x>0\) 上，\((x\log x-x)'=\log x\)。若讨论其他对数形式，必须重新检查 定义域。

例 3：循环结构

求

\[ I=\int e^x\cos x\,dx. \]

第一次分部，取 \(u=\cos x\)、\(dv=e^x dx\)：

\[ I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx. \]

对后一个积分再次分部：

\[ \int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-I. \]

于是

\[ 2I=e^x(\sin x+\cos x), \]

故

\[ I=\frac12e^x(\sin x+\cos x)+C. \]
答案

回验：

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac12e^x(\sin x+\cos x)\right] =e^x\cos x. \]

即时检验与回望

即时检验 1

对 \(\int x\cos x\,dx\)，应优先让哪一项被求导？

答案

取 \(u=x\)，因为 \(u'=1\) 降低复杂度；取 \(dv=\cos x\,dx\)，因为 \(v=\sin x\) 可直接得到。

即时检验 2

为什么公式本身不能保证计算一定简化？

答案

它只是乘积法则的恒等式重排。若拆分后 \(u'v\) 比 \(uv'\) 更复杂，右侧的新问题 可能更难，甚至回到原问题。

习题与答案

练习 1：多项式乘三角

求 \(\int x\sin x\,dx\)。

答案

取 \(u=x\)、\(dv=\sin x\,dx\)，得到

\[ \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C. \]

练习 2：重复分部

求 \(\int x^2e^x\,dx\)。

答案

连续两次让多项式降次：

\[ \int x^2e^x\,dx =x^2e^x-2\int xe^x\,dx =e^x(x^2-2x+2)+C. \]

练习 3：反三角函数

求 \(\int\arctan x\,dx\)。

答案

取 \(u=\arctan x\)、\(dv=dx\)：

\[ \int\arctan x\,dx =x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx =x\arctan x-\frac12\log(1+x^2)+C. \]

练习 4：三次重复

说明为什么 \(\int x^3\cos x\,dx\) 最多连续三次降低多项式次数后就会终止。

答案

每次让 \(x^3\) 一侧求导，次数依次变为 \(2,1,0\)，再求导为零。三角函数在 \(\sin\) 与 \(\cos\) 间循环，但多项式次数严格下降，所以过程有限终止。

练习 5：失败路线诊断

有人对 \(\int xe^x\,dx\) 取 \(u=e^x\)、\(dv=x\,dx\)。说明为什么这不是好路线。

答案

此时 \(du=e^x dx\)、\(v=x^2/2\)，新积分为

\[ \frac12\int x^2e^x\,dx, \]

多项式次数从 \(1\) 升到 \(2\)，问题更复杂。公式没有错，拆分选择没有产生进展。

常见误区与后续

  1. 把经验顺序当定理。 拆分后必须实际比较复杂度。
  2. 忘记负号。 三角函数恢复与求导都要单独核对。
  3. 循环时直接“约掉积分号”。 应把原积分作为未知量建立线性方程。
  4. 每一步都加新的常数。 先求一个候选原函数，最后统一加 \(C\)。
  5. 不做乘积回验。 分部积分最适合用乘积法则反向检查。

下一单元将把有理函数先做代数约化，再交给基本原函数、换元和部分分式处理。