为什么集合运算必须对可数过程封闭？¶

先备知识¶

熟悉补集、并、交、De Morgan 律与可数集合。

学习目标¶

掌握 σ-代数的定义和最小生成思想。

牵引问题¶

若每个集合都可测，为什么它们的极限集合也应可测？

探索与猜想¶

函数列会产生可数并交，因此允许的集合类必须对补集和可数并封闭。

概念与理论¶

障碍¶

只对有限运算封闭的集合代数无法稳定承接 \(\limsup E_n\) 与 \(\liminf E_n\)。

证明路线¶

冻结补集和可数并两项公理，再由 De Morgan 律推出其余运算。

逐步证明¶

全集 (X) 上的集合族 \(\mathcal A\) 称为 σ-代数，若：

1. (X\in\mathcal A)；
2. (E\in\mathcal A\Rightarrow E^c\in\mathcal A)；
3. (E_n\in\mathcal A\Rightarrow\bigcup_{n\ge1}E_n\in\mathcal A)。

于是 \(\varnothing=X^c\in\mathcal A\)，且由 De Morgan 律， \(\bigcap_nE_n=(\bigcup_nE_n^c)^c\in\mathcal A\)。有限并交只是补空集后的特例。 给定集合族 \(\mathcal C\)，所有包含 \(\mathcal C\) 的 σ-代数之交仍是 σ-代数，称 \(\sigma(\mathcal C)\)，即由 \(\mathcal C\) 生成的最小 σ-代数。

假设用在何处¶

补集配合可数并产生可数交；任意 σ-代数之交逐项保留三条公理。

失败边界¶

σ-代数只规定“哪些集合允许”，没有给出大小；测度是下一层结构。

例题与迁移¶

例 1：最小 σ-代数¶

\(\{\varnothing,X\}\) 是最小 σ-代数。

例 2：单个集合生成¶

若 \(\varnothing\ne E\ne X\)，则 \(\sigma(\{E\})=\{\varnothing,E,E^c,X\}\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何可数交不必单列为公理？

即时检验 2¶

生成 σ-代数为什么存在？

常见误区与后续¶

• σ 表示可数运算，不表示任意不可数并。
• 集合属于 σ-代数不自动给出其测度值。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 σ-代数三条公理。

习题 2¶

证明空集属于 σ-代数。

习题 3¶

证明有限交封闭。

习题 4¶

幂集是否是 σ-代数？

习题 5¶

两个 σ-代数的并一定是 σ-代数吗？

习题 6¶

两个 σ-代数的交呢？

习题 7¶

写出 \(\limsup E_n\) 的集合表达式。

习题 8¶

为何有限代数不够处理上题？

习题 9¶

最小 σ-代数是什么？

习题 10¶

σ-代数是否要求对不可数并封闭？