平面场的散度与旋度怎样描述局部变化？¶

先备知识¶

掌握偏导、Jacobian、第二类曲线积分和逆时针有向矩形。

学习目标¶

能从小矩形的四边积分推出两个局部密度，并核验符号。

牵引问题¶

只看一点附近的导数，怎样判断流体正在旋转还是向外涌出？

探索与猜想¶

设 \(F=(P,Q)\)。沿小矩形逐边累加切向量，水平边比较 \(P_y\)，竖直边比较 \(Q_x\)；沿外法向累加则比较 \(P_x,Q_y\)。

概念与理论¶

平面散度与标量旋度¶

若 \(P,Q\) 在点附近可微，定义平面散度与标量旋度

小矩形的局部环流¶

取中心 \((a,b)\)、边长 \(h,k\) 的小矩形，边界逆时针。下、右、上、左四边的 切向积分相加；上下边给 \(h[P(a,b-k/2)-P(a,b+k/2)]=-hkP_y(a,b)+o(hk)\)，左右边给 \(k[Q(a+h/2,b)-Q(a-h/2,b)]=hkQ_x(a,b)+o(hk)\)。故局部环流为

除以面积 \(hk\)，令 \(h,k\to0\)，趋于 \(Q_x-P_y\)。这也固定了逆时针取向的符号。

小矩形的局部通量¶

正外法向下，左右边净通量为 \(hkP_x+o(hk)\)，上下边为 \(hkQ_y+o(hk)\)，所以 局部通量

除以面积再趋于零，得到净外通量密度 \(P_x+Q_y\)。

例题与迁移¶

例 1：刚体旋转¶

\(F=(-y,x)\) 有 \(\operatorname{div}F=0\)，\(\operatorname{curl}F=2\)。边长 \(h,k\) 的逆时针小矩形局部环流恰为 \(2hk\)，净外通量为零。

例 2：径向伸张¶

\(F=(x,y)\) 有散度 \(2\)、标量旋度 \(0\)。小矩形的净外通量为 \(2hk\)，环流为零。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

反向绕小矩形，局部环流密度怎样变？

即时检验 2¶

\(F=(2x,-2y)\) 的散度是多少？

常见误区与后续¶

• 标量旋度不是三维旋度向量；这里固定为 \(Q_x-P_y\)。
• 零散度只说明局部净外通量密度为零，不自动说明场恒定。
• 下一单元把小矩形关系累积为区域公式。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(F=(x^2,xy)\) 的散度。

习题 2¶

求同一场的标量旋度。

习题 3¶

常向量场的两个密度为何均为零？

习题 4¶

若交换旋度定义两项会怎样？

习题 5¶

\(F=(-y/2,x/2)\) 的局部环流密度是多少？

习题 6¶

\(F=(x,-y)\) 是否局部不可压缩？

习题 7¶

为什么必须除以矩形面积？

习题 8¶

局部推导使用了什么正则性？