第 22 章：反常积分与数值求积¶

第 19 章只在有界闭区间上建立 Riemann 积分，第 20 章把正常积分连接到原函数端点差， 第 21 章再把有限区间积分用于几何与物理模型。本章处理第五部最后两个问题：积分区间 或被积函数不再有界时，怎样先判断积分是否存在；没有可用初等原函数时，怎样给出带 条件和误差界的有限计算结果？

本章共6个核心单元，12学时（理论7.25，应用4.75）。

学习路径¶

1. 反常积分怎样由逐端点极限定义？ （理论 1.50，应用 0.25）
2. 正函数怎样比较收敛并控制尾部？ （理论 1.50，应用 0.25）
3. 绝对、条件与振荡收敛怎样区分？ （理论 1.50，应用 0.50）
4. 中点与梯形公式怎样产生可证明误差界？ （理论 1.25，应用 0.75）
5. Simpson 方法怎样给出预算与误差证书？ （理论 1.00，应用 1.25）
6. 反常积分怎样完成可靠数值计算？ （理论 0.50，应用 1.75）

两条误差控制路线¶

前三个单元建立反常积分线：

“逐端点”要求每个无穷端或奇点各自通过极限检验；Cauchy 尾部把收敛改写为充分靠后的 任意一段积分都很小；比较、绝对收敛与振荡判别负责给出可检查条件；若比较不等式还 保留了数值大小，就能进一步选择截断点。

后两个公式单元建立有限求积线：

局部 Taylor 或插值结构产生中点、梯形和 Simpson 权重；把局部误差逐段相加得到全局 误差界；给定容差后再反求网格预算。程序可以检查区间、网格和输入数值，却不能替学习者 证明整个区间上的导数界。

第 22.6 单元把两条路线合并：

先证明收敛，再分配两类预算；这个顺序不能倒转。

三种“看起来稳定”都不够¶

1. 对称截断稳定。 它可能只给出 Cauchy 主值，左右尾部仍分别发散。
2. 网格加密后小数变化很小。 没有后验定理时，这只是经验信号。
3. 程序接受了导数界参数。 程序只能检查它是有限非负数，不能证明它确实控制 整个区间上的导数。

严格结论必须说明所依赖的数学条件、误差界来源和程序实际检查了什么。

继承、输出与边界¶

第 19 章提供正常 Riemann 积分、区间可加与积分估计；第 20 章提供正常积分计算和 分部积分；第 21 章提供有限模型。本章在这些结论之上扩展端点定义，并使用第四部已经 证明的有限 Taylor 余项。

本章输出：

• 反常积分的逐端点定义与 Cauchy 尾部语言；
• 正函数比较、极限比较和尾部估计；
• 绝对、条件和振荡收敛的严格边界；
• 复合中点、梯形和 Simpson 公式及条件性误差证书；
• 一份经过测试的 Python 求积实现；
• 反常尾部与有限求积的总误差工作流。

第 22 章完成后，第五部闭合。第六部才系统研究无穷级数与函数逼近；本章不使用一般的 无穷求和交换、一致收敛或更高阶数值求积理论。

章末自测¶

完成本章后，你应能回答：

1. 一个积分有两个反常端点时，为什么必须分别取极限？
2. Cauchy 尾部判据为什么比观察一条截断序列更强？
3. 直接比较的两个方向分别是什么？
4. 为什么 \(\int |f|\) 收敛能够控制 \(\int f\) 的任意尾段？
5. Dirichlet 判别中的有界原函数和单调趋零各承担什么责任？
6. 对称主值为什么不能冒充通常反常积分？
7. 中点、梯形和 Simpson 误差分别需要几阶导数界？
8. Simpson 网格为什么必须为正偶数？
9. “有误差上界”与“已达到目标容差”有什么区别？
10. 怎样把尾部误差和有限区间误差合并成一个可核查结论？

只有能先证明存在、再分配误差、最后解释算法状态，才算完成第五部的积分训练。