规则区域的分片与内部通量为什么会抵消？¶

先备知识¶

掌握长方体 Gauss 公式、分片光滑曲面与曲面积分可加性。

学习目标¶

能在精确定义的有限分片类上拼接公式，并识别共享面的相反外法向。

牵引问题¶

把一个区域拼成若干块后，为何内部接口不会出现在最终边界通量中？

探索与猜想¶

同一共享面从相邻两块看有相反外法向，因此两个通量逐点互为相反数。

概念与理论¶

本章的规则区域¶

称有界闭域 \(\overline\Omega\) 为本章允许的长方体复形，若它可精确写成有限个 内部不交的轴对齐长方体 \(\overline B_j\) 的并；任意二维共享面可再有限切分，使两侧 矩形片精确匹配，未共享的矩形片恰组成 \(\partial\Omega\)。因此外边界可以是分片光滑的 阶梯状闭曲面。每个块都恰是 40.2 已证明的对象，不使用坐标变换或未证的曲边块公式。

有限分片 Gauss 公式¶

若 \(\Omega\) 是上述由有限个轴对齐长方体组成的长方体复形，其分片光滑外边界允许 阶梯状矩形片，且 \(F\in C^1(U)\)，其中 \(U\) 是 \(\overline\Omega\) 的邻域，则对 \(\partial\Omega\) 的正外法向 \(n\)，

证明障碍¶

各块边界包含不属于整体边界的共享面，必须证明它们没有残留。

证明路线¶

逐块应用已经证明的块级公式，再利用有限可加性分类共享面与外边界面。

逐步证明¶

对有限个块求和：体积内部不交，故右侧为整体体积分。若 \(S\) 是块 \(i,j\) 的共享面， 则两块在 \(S\) 上的相反外法向满足 \(n_j=-n_i\)，所以

所有共享面成对抵消，这就是内部通量抵消；只有未共享的面，即整体外边界保留。

假设位置¶

有限个保证求和无需无限极限；精确匹配保证共享面不重不漏；分片光滑保证通量存在。

边界¶

本章不声称任意光滑区域都能由网格无误差表示，也不提供曲边逼近定理。因此公式只在上述长方体复形内作为已证结论使用；球、圆柱等曲边域不由本定理覆盖。

取向检查¶

共享面法向是“各块向外”，必相反；整体边界法向是“从 \(\Omega\) 向外”。若两块在共享面选了同向法向，内部项会错误加倍。

迁移¶

穿孔域若仍属于本章允许类，新增内边界也必须取相对剩余区域的外法向。

例题与迁移¶

例 1：两个相邻盒¶

把 \([0,2]\times[0,1]^2\) 在 \(x=1\) 切开。左块接口法向 \((1,0,0)\)，右块接口法向 \((-1,0,0)\)，通量精确抵消。

例 2：阶梯区域¶

两个内部不交长方体拼成阶梯。对 \(F=(x,y,z)\)，各块体积分之和为 \(3\operatorname{vol}(\Omega)\)；共享矩形消去，仅外露面保留。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

内部共享面为何不是整体边界？

即时检验 2¶

本页为何强调“有限个”？

常见误区与后续¶

• 分片是精确表示，不是未经证明的网格逼近。
• 内部抵消依赖相反外法向，也依赖共享面精确匹配。

习题与答案¶

习题 1¶

两块共享面法向有何关系？

习题 2¶

共享面通量和是多少？

习题 3¶

三块相接时怎样处理每个二维共享片？

习题 4¶

为何场要在整个闭域邻域 \(C^1\)？

习题 5¶

整体外边界保留哪一类面？

习题 6¶

若共享面同向计数会怎样？

习题 7¶

长方体复形是否允许有限条分片光滑接缝？

习题 8¶

本定理是否已经覆盖球？

习题 9¶

若 \(\operatorname{div}F=0\)，允许区域的总外通量是多少？

习题 10¶

有限分片证明的核心代数操作是什么？