Riemann 和何时拥有与取样无关的极限？¶

先备知识¶

设 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 有界，\(a<b\)。第 19.1 单元已经定义分割 \(P\)、网格 \(\|P\|\)、标记分割 \((P,\xi)\)、Riemann 和 \(S(f;P,\xi)\) 以及 Darboux 上下和， 并证明

本单元使用确界逼近：若 \(M=\sup A\)，则对每个 \(\eta>0\)，存在 \(x\in A\) 使 \(x>M-\eta\)。上确界不必由某个元素取到。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 使用上积分、下积分相等定义 Darboux 可积；
2. 证明 \(U-L\) 可任意压小的 Darboux 判据；
3. 正确写出 Riemann 可积定义中的全部量词；
4. 区分“小网格”与“加细固定分割”；
5. 用公共加细误差控制证明 Darboux 可积推出 Riemann 可积；
6. 用逼近上确界和下确界的标记证明反方向。

牵引问题¶

对 \(f(x)=x\) 的等距分割，左端点和、右端点和、中点和都趋近 \(1/2\)。但仅知道这 三条特殊路线还不够：别的非等距分割、别的取样点会不会趋向另一个数？

Riemann 可积要求一个很强的稳定性：

只要所有子区间都足够短，无论怎样分割、怎样取样，有限和都必须接近同一个数。

Darboux 上下和怎样把这一无限多选择的要求化成一个可证明的判据？

探索与猜想¶

如果某个分割 \(P\) 满足

那么这个分割上的所有取样和都落在一个很窄的区间内。但 Riemann 定义还要求控制任意 小网格分割 \(Q\)，而 \(Q\) 不一定加细 \(P\)。

正确桥梁不是假装 \(Q\succeq P\)，而是构造公共加细 \(P\cup Q\)，再估计为了加入 \(P\) 的有限个内部点，需要改动的那些 \(Q\)-子区间总长度。

概念与理论¶

Darboux 可积¶

回忆

若

则称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Darboux 可积，公共值记作

由任意下和不超过任意上和，始终有下积分不超过上积分。可积性就是二者之间没有正间隙。

Darboux 可积判据¶

定理。 有界函数 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) Darboux 可积，当且仅当对每个 \(\varepsilon>0\)，存在分割 \(P\) 使

证明。

先设上下积分都等于 \(I\)。由下积分是下和集合的上确界，可取分割 \(P_1\) 使

由上积分是上和集合的下确界，可取分割 \(P_2\) 使

令 \(P=P_1\cup P_2\)。由加细单调性，

反之，设上下和差可任意压小。对给定分割 \(P\)，有

右端可小于任意正数，故上下积分相等。证毕。

Riemann 可积¶

定义。 若存在实数 \(I\)，使得对每个 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，满足：

对所有分割 \(Q\) 和所有取样点 \(\xi_i\in[y_{i-1},y_i]\)，只要 \(\|Q\|<\delta\)，就有

\[ |S(f;Q,\xi)-I|<\varepsilon, \]

则称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，积分值为 \(I\)。

量词顺序是

“所有分割”和“所有取样点”不能换成某一种等距分割与固定标记。

公共加细误差引理¶

引理。 设 \(|f(x)|\le M\)。固定分割

其内部点数为 \(k=n-1\)。对任意标记分割 \((Q,\xi)\)，有

当 \(k=0\) 时误差项为零。

证明。 把 \(Q\) 的子区间分成两类：

1. 内部不含 \(P\) 的内部点的“良好区间”；
2. 内部至少含一个 \(P\) 的内部点的“跨界区间”。

每个跨界区间至少对应一个 \(P\) 的内部点，因此跨界区间至多 \(k\) 个，总长度不超过

在良好区间上，它完全包含于 \(P\) 的某个子区间，对应标记值被该 \(P\)-子区间的 上、下确界夹住。

在跨界区间上，把它按 \(P\) 的点切开即可得到公共加细 \(P\cup Q\)。原标记贡献与 这些细段的任一上下界贡献，每单位长度最多相差 \(2M\)。所以所有跨界区间引入的总误差 不超过

合并良好区间与跨界区间即得结论。证毕。

这个引理明确说明：\(\|Q\|\) 很小不意味着 \(Q\) 加细 \(P\)；它只保证为了形成公共 加细而受影响的总长度很小。

Riemann 与 Darboux 等价¶

定理。 有界函数 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) Darboux 可积，当且仅当它 Riemann 可积；两种定义给出的积分值相同。

证明：Darboux 推出 Riemann。

设 Darboux 积分为 \(I\)，且 \(|f|\le M\)。给定 \(\varepsilon>0\)，由 Darboux 判据选择分割 \(P\)，使

设 \(P\) 有 \(k\) 个内部点。取

对任意满足 \(\|Q\|<\delta\) 的标记分割，由公共加细误差引理，

又因为 \(L(f,P)\le I\le U(f,P)\)，

所以 \(S(f;Q,\xi)-I<\varepsilon\)。完全类似地，

因此对所有分割和所有取样点均有

证明：Riemann 推出 Darboux。

设所有足够细的标记和都趋向 \(I\)。给定 \(\varepsilon>0\)，在 Riemann 定义中把 误差取为 \(\varepsilon/4\)，得到相应 \(\delta>0\)。选择一个满足 \(\|P\|<\delta\) 的分割 \(P\)。

令

在每个子区间上，由上确界定义选择标记 \(\alpha_i\)，使

由下确界定义选择标记 \(\beta_i\)，使

这就是逼近上确界和逼近下确界，而不假设界一定取到。于是

两组标记和都在 \(I\) 的 \(\varepsilon/4\) 邻域内，因此

合并三段误差，

由 Darboux 判据，\(f\) Darboux 可积。夹逼还说明公共值就是 \(I\)。证毕。

例题与迁移¶

例 1：Dirichlet 函数暴露取样依赖¶

在 \([0,1]\) 上定义

每个非退化子区间同时含有理数和无理数，所以对任意分割

若每段都选有理标记，则 \(S=1\)；若每段都选无理标记，则 \(S=0\)。无论网格多小， 取样点都能制造两个不同结果。

例 2：为什么小网格不是加细¶

固定

对奇数 \(N\) 取等距分割

虽然 \(\|Q_N\|=1/N\to0\)，但 \(1/2\notin Q_N\)，所以 \(Q_N\) 不加细 \(P\)。

例 3：单点尖峰满足 Darboux 判据¶

对第 19.1 单元的单点尖峰 \(h\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取

并把 \(c-\eta,c,c+\eta\) 加入分割。于是

因此 \(h\) Darboux 可积，继而由等价定理 Riemann 可积，积分为零。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

“对每个分割 \(P\)，存在一组选点使取样和接近 \(I\)”是否足以证明 Riemann 可积？

即时检验 2¶

为什么反向证明不能直接选择使 \(f(\alpha_i)=M_i\) 的点？

习题与答案¶

练习 1：翻译量词¶

用文字解释

练习 2：一条收敛数列为何不够¶

说明 Dirichlet 函数在 \([0,1]\) 上的等距左端点和都等于一，却仍不可积。

练习 3：从判据确定误差¶

设 \(U(f,P)-L(f,P)<10^{-4}\)。说明同一分割上的任意两个标记和之差小于多少。

练习 4：公共加细预算¶

设 \(|f|\le3\)，固定分割有四个内部点，且 \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon/2\)。 给出一个使公共加细误差小于 \(\varepsilon/2\) 的网格条件。

练习 5：逼近确界而非取得确界¶

若某子区间长度为 \(\Delta x_i\)，并选到 \(f(\alpha_i)>M_i-\eta\)，估计该段上和贡献与标记贡献之差。

练习 6：积分值唯一¶

证明 Riemann 定义中的积分值不可能同时为两个不同实数 \(I,J\)。

常见误区与后续¶

1. 把一条规则分割序列当作完整定义。 完整定义必须控制所有分割和所有取样点。
2. 把小网格当加细。 二者之间必须经过公共加细误差引理。
3. 默认一般有界函数取得极值。 等价性证明只能使用逼近确界的点。
4. 量词顺序倒置。 \(\delta\) 必须先于分割与标记统一选定。
5. 只证明两种积分值相等，不证明可积类相同。 等价定理必须包含两个方向。

下一单元将使用 Darboux 判据证明连续、单调和有限分段连续函数可积，并分析振荡和 无界性造成的不同障碍。